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第二章典型例题

[齐次解法解冲激响应] (连续系统)

例一

已知某线性时不变系统的微分方程为$r^{''}(t)+5r^{'}(t)+6r(t)=3e^{'}(t)+2e(t)$,求该系统的冲激响应$h(t)$.

**解:**特征根为$-2$和$-3$,可得 $$ \hat{h}(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t} $$ 由于在使用齐次解法求冲激响应时,只有$\hat{h}^{(n-1)}(0_+)=\frac{1}{C_0}$(其中$C_0$为微分方程中$r^n(t)$的系数),其余各阶导数均为$0$,所以有 $$ \begin{cases} \hat{h}(0_+)=0\notag\ \hat{h}^{'}(0_+)=1\notag \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_1=1\notag\ C_2=-1\notag \end{cases} $$ 即 $$ \hat{h}(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})u(t) $$ 再根据微分方程右式的形式,有 $$ \begin{align} h(t)&=3\hat{h}^{'}(t)+2\hat{h}(t)\notag\ &=(7e^{-3t}-4e^{-2t})u(t)\notag \end{align} $$ 值得注意的是,在求解过程中,要把$u(t)$当作一个函数看待,求导时要根据求导法则对其同等处理.

例二

已知某线性时不变系统的微分方程为$r^{'}(t)+2r(t)=e^{''}(t)+3e^{'}(t)+3e(t)$,求该系统得冲激响应.

**解:**易知特征根为 $$ r=-2 $$ 所以有 $$ \hat{h}(t)=Ae^{-2t}\tag{} $$ 又因为 $$ \hat{h}(0_+)=1 $$ 将该条件带入$()$式,可得 $$ \hat{h}(t)=e^{-2t}u(t) $$ 再根据微分方程右式得形式,可得 $$ \begin{align} h(t)&=\hat{h}^{''}(t)+3\hat{h}^{'}(t)+3\hat{h}(t)\notag\ &=[4e^{-2t}u(t)-2\delta(t)+\delta^{'}(t)]+3[-2e^{-2t}u(t)+\delta(t)]+3[e^{-2t}u(t)]\notag\ &=e^{-2t}+\delta(t)+\delta^{'}(t)\notag \end{align} $$

[全响应]

例三

已知某线性时不变系统的微分方程为$r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2e^{'}(t)+6e(t)$,激励$e(t)=u(t)$,初始状态$r(0_-)=2$,$r^{'}(0_-)=0$求该系统的全响应,零输入响应,零状态响应.

**解:**根据题意,微分方程可写为 $$ r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=2\delta(t)+6u(t) $$ 易知特征根为 $$ r=-1\text{ or }-2 $$ 齐次解为 $$ r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t} $$ 又因为在$t>0$时,方程可写为 $$ r^{''}(t)+3r^{'}(t)+2r(t)=6u(t) $$ 可设特解为一常数,带入方程可得特解为$3$,则有 $$ r(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}+3 \tag{} $$ 由于右式有冲激函数,所以$r^{''}(t)$含有冲激函数,从而$r^{'}(t)$会发生跳变,幅度为$2$,即 $$ \begin{cases} r(0_+)=r(0_-)=2\notag\ r^{'}(0_+)=r^{'}(0_-)+2=2\notag \end{cases} $$ 将上式代入$()$,得系统的全响应为 $$ r(t)=-e^{-2t}+3 $$ 接下来求零输入响应,根据特征根,可得 $$ r_{zi}(t)=B_1e^{-t}+B_2e^{-2t} $$ 带入题目中得初始条件,求解整理可得 $$ r_{zi}(t)=4e^{-t}-2e^{-2t} $$ 零状态响应等于全响应减去零输入响应,即 $$ r_{zs}(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3 $$

[离散系统单位样值响应]

例四

已知某线性时不变系统的微分方程为$y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=-2x(n)+x(n-1)$,且$y(0)=1$,$y(-1)=0$求该系统得单位样值响应.

**解:**先只考虑右边只有$\delta(n)$的情况(类比连续时间系统求冲激响应的齐次解法),即为 $$ h(n)-5h(n-1)+6h(n-2)=\delta(n) $$ 易知 $$ \hat{h}(n)=A_12^n+A_23^n\tag{} $$ 将边界条件带入$()$式,可得 $$ \hat{h}(n)=(-2\cdot2^n+3\cdot3^n)u(n) $$ 根据微分方程右式形式可得 $$ h(n)=-2\delta(n)+(3\cdot2^n-5\cdot3^n)u(n-1) $$