793. 阶乘函数后 K 个零 : 经典「数学 + 二分」运用题

2年前 (2022) 程序员胖胖胖虎阿

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题目描述

这是 LeetCode 上的 793. 阶乘函数后 K 个零 ，难度为困难。

Tag : 「数学」、「二分」、「容斥原理」

f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1。

例如， f(3) = 0，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。

给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。

示例 1：

输入：k = 0

输出：5

解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。

示例 2：

输入：k = 5

输出：0

解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。

示例 3:

输入: k = 3

输出: 5

提示:

$0 <= k <= 10^9$

数学 + 二分

对于一个 $n! = 1 \times 2 \times ... \times (n - 1) \times n$ 而言，其最终结果尾部包含 $0$ 的数量取决于其被累乘 $10$ 的次数，而 $10$ 可通过质因数 $2$ 和 $5$ 相乘而来，因此假设对 $n!$ 进行阶乘分解，最终分解出 $2^p$ 和 $5^q$ 的话，那么最终结果尾部包含 $0$ 的个数为 $q$ 个（可证明 $p >= q$ 始终满足）。

因此原问题转化为：在非负整数中，有多少个数进行阶乘分解后，所含质因数 $5$ 的个数恰好为 $k$ 个。

同时我们可知：随着 $n$ 的增大，其所能分解出来的 $5$ 的个数必然是递增的。

基于此，我们可以通过「二分 + 容斥原理」来得出分解 $5$ 个数恰好为 $k$ 的连续段长度。假设我们存在函数 f(k) 可得到非负整数中分解 $5$ 个数为小于等于 k 的个数，那么最终 f(k) - f(k - 1) 即是答案。

在单调函数上求解小于等于 k 分割点，可通过「二分」来做。剩下的问题是，如何求得给定 x 时，其阶乘分解所包含 $5$ 个个数，这可以通过 $O(\log{x})$ 的筛法来做。

最后还要确定二分的值域，由于我们是求阶乘分解中 $5$ 的个数，因此值域的上界为 $5k$，利用 $k$ 的范围为 $1e9$，直接取成 $1e10$ 即可。

Java 代码：

class Solution {
    public int preimageSizeFZF(int k) {
        if (k <= 1) return 5;
        return f(k) - f(k - 1);
    }
    int f(int x) {
        long l = 0, r = (long) 1e10;
        while (l < r) {
            long mid = l + r + 1 >> 1;
            if (getCnt(mid) <= x) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return (int)r;
    }
    long getCnt(long x) {
        long ans = 0;
        while (x != 0) {
            ans += x / 5; x /= 5;
        }
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：

function preimageSizeFZF(k: number): number {
    if (k <= 1) return 5
    return f(k) - f(k - 1)
};
function f(x: number): number {
    let l = 0n, r = BigInt("10000000000")
    while (l < r) {
        const mid = l + r + 1n >> 1n
        if (getCnt(mid) <= x) l = mid
        else r = mid - 1n
    }
    return Number(r)
}
function getCnt(x: bigint): bigint {
    let ans = 0n
    while (x != 0n) {
        ans += BigInt(Math.floor(Number(x / 5n))); x = BigInt(Math.floor(Number(x / 5n)))
    }
    return ans
}