前言
极值与最值是很不容易弄清楚的两个概念。
相关概念
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极值是在函数的定义域内的某一个自变量的取值$x_0$的小邻域[定义域的某个小区间]内，$f(x_0)$和这个小邻域内其他的函数值相比较，他是龙头老大(或老小)；最值是函数在自己的定义域内的来说，是龙头老大(或老小)，故极值不会在某个区间的端点处取到，而最值有可能在区间的端点处取到。
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说到极值和最值，都是针对函数值$y$而言；说到极值点或者最值点，都是针对函数的自变量$x$而言；且极值点和最值点都不是点，而是实数。
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函数的极大值和极小值之间没有必然联系，即极大值不一定比极小值大；
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对于可导函数$f(x)$而言，$x_0$成为函数$f(x)$的极值点的必要条件是$f'(x_0)=0$，其充要条件是$f'(x_0)=0$且导函数$f'(x)$在$x_0$的两侧的函数值异号，简单的说，其充要条件是$x_0$是导函数$f'(x)$的变号零点。
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函数在极值点处不一定可导，比如函数$f(x)=|x|$，$x=0$是其极值点，但函数在$x=0$处不可导。
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函数的最大值不一定是极大值，也可能是端点值；函数的最小值不一定是极小值，也可能是端点值；
充要条件
<LT>例1</LT>在某个区间内，对可导函数$f(x)$而言，$f'(x)>0(f'(x)<0)$是函数$f(x)$在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。<br/>
分析：说明不必要性，比如函数$y=x^3$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，但是却有$f'(x)\ge 0$，故必要性不成立。
<LT>例2</LT>在某个区间内，对可导函数$f(x)$而言，$f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)$是函数$f(x)$在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。<br/>
比如常函数$f(x)=c(c为常数)$，满足$f'(x)\ge0$，但是没有单调性，故充分性不成立；<br/>
若函数$f(x)$单调递增，则必有$f'(x)\ge 0$，故必要性成立。<br/>
<LT>例3</LT>在某个区间内，对可导函数$f(x)$而言，“$f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)$且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数$f(x)$在这个区间单调递增(减)的充要条件。
说明：①在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能；②已知函数的单调性[如单调递增]求参数的取值范围类问题中，如果我们令$f'(x)>0$恒成立，则会漏掉参数的取值，若令$f'(x)\geqslant 0$恒成立，则会多出参数的取值，所以最后求得参数的取值范围后常常需要验证等号的情形，以防止为常函数。
<LT>例4</LT>命题$p$为真命题，$f(x)=\cfrac{1-2m}{x}$在区间$(0，+\infty)$上单调递减，求$m$的取值范围是________。<br/>
分析：图像法，由题目可知，若$p$为真，则$1-2m>0$，解得$m<\cfrac{1}{2}$(依托$y=\cfrac{1}{x}$的单调性)；
导数法：由$f(x)=\cfrac{1-2m}{x}$在区间$(0，+\infty)$上单调递减，则有<br/>
$f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0$在区间$(0，+\infty)$上恒成立，<br/>
即$2m-1\leq 0$，即$m\leq \cfrac{1}{2}$，这个结果是错误的，<br/>
原因是缺少验证，当$m=\cfrac{1}{2}$时， 函数$f(x)=0$为常函数，<br/>
不符合题意，故舍去，即$m<\cfrac{1}{2}$。<br/>
解后反思：本题目利用函数$f(x)$的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。
<LT>例5</LT>在某个区间内，对函数$f(x)$而言，$f'(x_0)=0$是$x_0$为极值点的既不充分也不必要条件。<br/>
分析：比如函数$f(x)=x^3$，在$R$上单调递增，无极值点，而$f'(x)=3x^2$，$f'(0)=0$，<br/>
但是很遗憾$x=0$不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；<br/>
若$x_0$为函数的极值点，也不能推出$f'(x_0)=0$，因为函数的极值点有可能就不可导，
比如函数$f(x)=|x|$，$x=0$是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。<br/>
<LT>例6</LT>在某个区间内，对可导函数$f(x)$而言，$f'(x_0)=0$是$x_0$为极值点的必要不充分条件。<br/>
说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在$x_0$处不可导的情形，<br/>
故$x_0$为函数的极值点，能推出$f'(x_0)=0$，必要性成立。<br/>
<Lt>例2</Lt>(2017郑州模拟)已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a$在$x=1$处取得极大值$10$，则$\cfrac{a}{b}$的值为____________.
分析：$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由$\begin{cases}f'(1)=0\f(1)=10\end{cases}$，
得到$\begin{cases}3+2a+b=0\1+a+b-a^2-7a=10\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-2\b=1\end{cases}$，或$\begin{cases}a=-6\b=9\end{cases}$，
当$a=-2，b=1$时，$f'(x)=(3x-1)(x-1)$，
此时$x=1$是导函数$f'(x)$的变号零点，但是在$x=1$处取到极小值，不符舍去；
当$a=-6，b=9$时，$f'(x)=3(x-1)(x-3)$，
此时$x=1$是导函数$f'(x)$的变号零点，且在$x=1$处能取到极大值。
故$\cfrac{a}{b}=-\cfrac{2}{3}$。
反思总结：由方程组解出来的根$x=x_0$，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点$x_0$处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。
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