【数据结构与算法】——并查集

一、概述

并查集：一种树型数据结构，用于解决一些不相交集合的合并及查询问题。例如：有n个村庄，查询2个村庄之间是否有连接的路，连接2个村庄

两大核心：

查找 (Find) : 查找元素所在的集合

合并 (Union) : 将两个元素所在集合合并为一个集合

二、实现

并查集有两种常见的实现思路

快查（Quick Find）

• 查找（Find）的时间复杂度：O（1）
• 合并（Union）的时间复杂度：O（n）

快并（Quick Union）

• 查找（Find）的时间复杂度：O（logn）可以优化至O（a（n））a（n）< 5
• 合并（Union）的时间复杂度：O（logn）可以优化至O（a（n））a（n）< 5

使用数组实现树型结构，数组下标为元素，数组存储的值为父节点的值

创建抽象类Union Find

public abstract class UnionFind {

	 int[] parents;
	/**
	 * 初始化并查集
	 * @param capacity
	 */
	public UnionFind(int capacity){
		
		if(capacity < 0) {
			throw new IllegalArgumentException("capacity must be >=0");
		}
        //初始时每一个元素父节点（根结点）是自己
		parents = new int[capacity];
		for(int i = 0; i < parents.length;i++) {
			parents[i] = i;
		}
	}
	
   /**
     *  检查v1 v2 是否属于同一个集合
     */
	public boolean isSame(int v1,int v2) {
		return find(v1) == find(v2);
	}

    /**
     *  查找v所属的集合 （根节点）
     */
	public  abstract int find(int v);

	/**
     *  合并v1 v2 所属的集合
     */
	public abstract void union(int v1, int v2);
	
		
	// 范围检查
	public   void rangeCheck(int v)  {
		if(v<0 || v > parents.length)
			throw new IllegalArgumentException("v is out of capacity");
	}
}

🚢2.1 Quick Find实现

以Quick Find实现的并查集，树的高度最高为2，每个节点的父节点就是根节点

public class UnionFind_QF extends UnionFind {
	public UnionFind_QF(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}

  // 查
@Override
	public  int  find(int v) {
		rangeCheck(v);
		return parents[v];
	}

 // 并 将v1所在集合并到v2所在集合上
@Override
public void union(int v1, int v2) {
    // 查找v1 v2 的父（根）节点
	int p1= find(v1);
	int p2 = find(v2);
	if(p1 == p2) return;
  
    //将所有以v1的根节点为根节点的元素全部并到v2所在集合上 即父节点改为v2的父节点
	for(int i = 0; i< parents.length; i++) {
		if(parents[i] == p1) {
			parents[i] = p2;
		}
	}
	
  }
}

🚢2.2 Quick Union实现

public class UnionFind_QU extends UnionFind {

	public UnionFind_QU(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}

	//查某一个元素的根节点
	@Override
	public int find(int v) {
   //检查下标是否越界
		rangeCheck(v);
   
  // 一直循环查找节点的根节点
		while (v != parents[v]) {
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}

//V1 并到 v2 中
	@Override
	public void union(int v1, int v2) {
	
		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;
      //将v1 根节点 的 父节点 修改为 v2的根结点 完成合并
		parents[p1] = p2;
	}

}

三、优化

并查集常用快并来实现，但是快并有时会出现树不平衡的情况

有两种优化思路：rank优化，size优化

🚢3.1基于size的优化

核心思想：元素少的树 嫁接到 元素多的树

public class UniondFind_QU_S extends UnionFind{

   // 创建sizes 数组记录 以元素（下标）为根结点的元素（节点）个数
	private int[] sizes;

	public UniondFind_QU_S(int capacity) {
		super(capacity);

		sizes = new int[capacity];

   //初始都为 1
		for(int i = 0;i < sizes.length;i++) {
			sizes[i] = 1;
			}
		
	}

	@Override
	public int find(int v) {

		rangeCheck(v);

		while (v != parents[v]) {
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}

	@Override
	public void union(int v1, int v2) {
	
		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;

		//如果以p1为根结点的元素个数 小于 以p2为根结点的元素个数 p1并到p2上，并且更新p2为根结点的元素个数
	if(sizes[p1] < sizes[p2]) {
		    parents[p1] = p2;
		    sizes[p2] += sizes[p1];
		
 // 反之 则p2 并到 p1 上，更新p1为根结点的元素个数
	}else {
			parents[p2] = p1;
			sizes[p1] += sizes[p2];
		}
	}

}

缺点：基于size优化还有可能会导致树不平衡

🚢3.2基于rank优化

核心思想：矮的树 嫁接到 高的树

public class UnionFind_QU_R extends UnionFind_QU {
   // 创建rank数组  ranks[i] 代表以i为根节点的树的高度
 private int[] ranks;

	public UnionFind_QU_R(int capacity) {
		super(capacity);

		ranks = new int[capacity];

		for(int i = 0;i < ranks.length;i++) {
			ranks[i] = 1;
		}

	}
    
	public void union(int v1, int v2) {

		int p1 = find(v1);
		int p2 = find(v2);
		if(p1 == p2) return;
    
    // p1 并到 p2 上 p2为根 树的高度不变
		if(ranks[p1] < ranks[p2]) {
			parents[p1] = p2;
			
  // p2 并到 p1 上 p1为根 树的高度不变
		} else if(ranks[p1] > ranks[p2]) {
			parents[p2] = p1;

		}else {
    // 高度相同 p1 并到 p2上，p2为根 树的高度+1
			parents[p1] = p2;
			ranks[p2] += 1;
		}
	}
}

缺点：基于rank优化，随着Union次数的增多，树的高度依然会越来越高 导致find操作变慢

有三种思路可以继续优化 ：路径压缩、路径分裂、路径减半

⚓3.2.1路径压缩（Path Compression ）

在find时使路径上的所有节点都指向根节点，从而降低树的高度

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径压缩
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PC extends UnionFind_QU_R {

	public UnionFind_QU_R_PC(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}

	@Override
	public int find(int v) {
		rangeCheck(v);

		if(parents[v] != v) {

        //递归 使得从当前v 到根节点 之间的 所有节点的 父节点都改为根节点
			parents[v] = find(parents[v]);
		}
		return parents[v];
	}
}

缺点：虽然能降低树的高度，但是实现成本稍高

⚓3.2.2路径分裂（Path Spliting）

使路径上的每个节点都指向其祖父节点

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径分裂
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PS extends UnionFind_QU_R {

	public UnionFind_QU_R_PS(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}

	@Override
	public int find(int v) {
		rangeCheck(v);
		while(v != parents[v]) {

			int p = parents[v];
			parents[v] = parents[parents[v]];
			v = p;
		}
		return v;
	}
}

⚓3.2.3路径减半（Path Halving）

使路径上每隔一个节点就指向其祖父节点

/**
 *  Quick Union -基于rank的优化  -路径减半
 *
 */
public class UnionFind_QU_R_PH extends UnionFind_QU_R {

	public UnionFind_QU_R_PH(int capacity) {
		super(capacity);
		
	}
	
	
    public int find(int v) {
    	rangeCheck(v);

		while(v != parents[v]) {
			parents[v] = parents[parents[v]];
			v = parents[v];
		}
		return v;
	}	 
 }

使用建议：

使用Quick Union + 基于rank的优化 + 路径分裂 或 路径减半

可以保证每个操作的均摊时间复杂度为O(a(n)) , a(n) < 5