【区间求和问题】上下界分析 + 差分应用

2年前 (2022) 程序员胖胖胖虎阿

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题目描述

这是 LeetCode 上的 798. 得分最高的最小轮调 ，难度为困难。

Tag : 「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组 $nums$，我们可以将它按一个非负整数 $k$ 进行轮调，这样可以使数组变为 $[nums[k], nums[k + 1], ... nums[nums.length - 1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]$ 的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。

例如，数组为 $nums = [2,4,1,3,0]$，我们按 $k = 2$ 进行轮调后，它将变成 $[1,3,0,2,4]$。这将记为 $3$ 分，因为 $1 > 0$ [不计分]、$3 > 1$ [不计分]、$0 <= 2$ [计 $1$ 分]、$2 <= 3$ [计 $1$ 分]，$4 <= 4$ [计 $1$ 分]。
在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 $k$ 。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 $k$ 。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4,0]

输出：3

解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。

示例 2：

输入：nums = [1,3,0,2,4]

输出：0

解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。

提示：

$1 <= nums.length <= 10^5$
$0 <= nums[i] < nums.length$

上下界分析 + 差分应用

为了方便，令 $n$ 为 $nums$ 长度（中文的数据范围是错的，数组长度应该是 $10^5$，不是 $20000$）。

对于给定的 $nums$ 而言，有效的轮调范围为 $[0, n - 1]$，即对于任意 $nums[i]$ 而言，可取的下标共有 $n$ 种。

假定当前下标为 $i$，轮调次数为 $k$，那么轮调后下标为 $i - k$，当新下标为负数时，相当于 $nums[i]$ 出现在比原数组更“靠后”的位置，此时下标等价于 $(i - k + n) \mod n$。

考虑什么情况下 $nums[i]$ 能够得分？

首先新下标的取值范围为 $[0, n - 1]$，即有 $0 \leqslant i - k \leqslant n - 1$ 。由此可分析出 $k$ 的取值范围为：

$$
0 \leqslant i - k \Leftrightarrow k \leqslant i
$$

$$
i - k \leqslant n - 1 \Leftrightarrow i - (n - 1) \leqslant k
$$

即由新下标取值范围可知 $k$ 的上下界分别为 $i$ 和 $i - (n - 1)$。

同时为了满足得分定义，还有 $nums[i] \leqslant i - k$，进行变形可得：

$$
nums[i] \leqslant i - k \Leftrightarrow k \leqslant i - nums[i]
$$

此时我们有两个关于 $k$ 的上界 $k \leqslant i$ 和 $k \leqslant i - nums[i]$，由于 $nums[i]$ 取值范围为 $[0, n)$，则有 $i - nums[i] \leqslant i$，由于必须同时满足「合法移动（有效下标）」和「能够得分」，我们仅考虑范围更小（更严格）由 $nums[i] \leqslant i - k$ 推导而来的上界 $k \leqslant i - nums[i]$ 即可。

综上，$nums[i]$ 能够得分的 $k$ 的取值范围为 $[i - (n - 1), i - nums[i]]$。

最后考虑 $[i - (n - 1), i - nums[i]]$（均进行加 $n$ 模 $n$ 转为正数）什么情况下为合法的连续段：

当 $i - (n - 1) \leqslant i - nums[i]$ 时，$[i - (n - 1), i - nums[i]]$ 为合法连续段；
当 $i - (n - 1) > i - nums[i]$ 时，根据负数下标等价于 $(i - k + n) \mod n$，此时 $[i - (n - 1), i - nums[i]]$ 等价于 $[0, i - nums[i]]$ 和 $[i - (n - 1), n - 1]$ 两段。

至此，我们分析出原数组的每个 $nums[i]$ 能够得分的 $k$ 的取值范围，假定取值范围为 $[l, r]$，我们可以对 $[l, r]$ 进行 $+1$ 标记，代表范围为 $k$ 能够得 $1$ 分，当处理完所有的 $nums[i]$ 后，找到标记次数最多的位置 $k$ 即是答案。

标记操作可使用「差分」实现（不了解差分的同学，可以先看前置🧀：差分入门模板题，里面讲解了差分的两个核心操作「区间修改」&「单点查询」），而找标记次数最多的位置可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码：

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int r) {
        c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {
        Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {
                add(a, b);
            } else {
                add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] > k) {
                k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return ans;
    }
}