本文用于说明：abaqus谐响应分析的模态叠加原理，大部分来自abaqus Document的theory 部分。具体公式推导的过程要查《结构动力学》
0. 总括
基于模态的谐响应分析，可以通过扫频的方式求解频率范围内结构的线性稳态响应情况。阻尼是和频率相关的，但模态叠加法只需要知道n个模态阻尼即可推广到其他频率范围（原因详见文内公式）。
1. 谐响应分析的目的
用来求解结构在连续谐波激励下的线性响应.求解稳态动力学响应有三种方法：subspace,direct,modal。base modal的方法是利用前一个分析步提取出来的一系列模态特征计算稳态解。
2. ABAQUS的求解原理
2.1 特征值提取
对于一个具有N个自由度的多自由度系统，可用N个独立的广义坐标描述系统的运动状态：
$$
a^{N\times1}=\{a_1,a_2,a_3,...,a_N\}^{T}
$$
对于N自由度的系统，一定可以找到N个固有频率\( w_{\alpha} \)以及相对应的振型\( \phi_{\alpha}^{N\times1} \)【\( \alpha=1...n，n是提取的模态的数目 \)】 。\( \phi^{N} \)左边的矩阵是\( M\times N \)的,等号右边是0，所以\( \phi^{N} \)是\( N\times 1 \)的。
所谓振型按我的理解就是共振时，结构的一个形状。用数学方式表示就是一个特定的解向量\( \phi_{\alpha}^{N} \)
将\( \phi_{\alpha}^{N\times 1} \)组装成 \( Nxn \)矩阵\( \Phi \)，其中每一列都包含一个特征模态。
2.2 模态叠加
有阻尼的结构动力学方程：
模态叠加用矩阵形式写为
$$
u^{N\times1}=\Phi^{N\times n} q^{n\times 1}
$$
列矢量\( q \)——模态自由度（待求）
在运动方程中插入模态叠加表达式,代入动力学方程：
$$
M\Phi \ddot{q}+C\Phi \dot{q}+K\Phi q=f(t)^{N \times1}
$$
左乘\( \Phi^{T} \)后得到：
$$
\Phi^{T}M\Phi \ddot{q}+\Phi^{T}C\Phi \dot{q}+\Phi^{T}K\Phi q=\Phi^{T}f(t)^{N\times 1}
$$
此时，原方程组现已从求解 N 个变量简化为 n 个变量，右侧\( \Phi^{T}f(t)^{N\times 1} \) 为模态载荷，是外载荷在每个特征模态上的投影。
$$
\Phi^{N\times n}=[\phi_1,\phi_2,\phi_3,...,\phi_n]
$$
$$
\Phi^{T}=[\phi_1^T,\phi_2^T,\phi_3^T,...,\phi_n^T]
$$
$$
f(t)^{N\times 1}=
\begin{bmatrix}
f(t)_1 \\
f(t)_2 \\
f(t)_3 \\
....\\
f(t)_N
\end{bmatrix}
$$
$$
\Phi^{T}f(t)^{N\times 1} =
\begin{bmatrix}
\phi_1f(t)_1\\
\phi_2f(t)_2\\
\phi_3f(t)_3\\
...\\
\phi_nf(t)_n\\
\end{bmatrix}
$$
上式经过一系列变换后，可以得到投影到\( mode \alpha \)上的方程\( (1) \)：
$$
\ddot{q}_{\alpha}+c_{\alpha}\dot{q}_{\alpha}+\omega_{\alpha}^2q_{\alpha}=\frac{1}{m_{\alpha}}(f_{1\alpha}+if_{2\alpha})exp(i\Omega t)
$$
其中：
\( q_{\alpha}:mode \ \alpha \)下的广义坐标幅值
\( c_{\alpha}:与mode \ \alpha \)有关的阻尼(模态阻尼)
\( \omega_{\alpha}:mode \ \alpha \)下的无阻尼固有频率
\( m_{\alpha}： \)广义质量,\( m_{\alpha}=\Phi_{\alpha}^{N}M^{N\times M}\Phi_{\alpha}^{M} \ \ (no \ sum\ over\ \alpha) \)
\( (f_{1\alpha}+if_{2\alpha})e^{i\Omega t}: \)是和\( mode\ \alpha \)有关的激励
2.2.1 激励项
激励被\( frequency (\Omega) \),节点等效力实、虚部\( (F_{1}^{N},F_{2}^N) \)定义。投影到\( mode\ \alpha \)上：
$$
f_{1\alpha}+if_{2\alpha}=\phi_{\alpha}^N(F_{1}^{N}+iF_{2}^N)\\
\ \\
N——模型自由度数
$$
载荷向量是根据其实部\( F_{1}^{N} \)和虚部\( F_{2}^{N} \)编写的，这是Abaqus/Standard 中定义载荷的方式.如果偶用幅值\( F_{0}^N \)和相位\( \Phi \)表示，则有
$$
F^N=F_1^N+iF_2^N=F_{0}^{N}exp[i(\Omega t+\Phi)]
$$
其中：
\( F_1^N=F_0^Ncos(\Phi) \ \ \ \ F_2^N=F_0^Nsin(\Phi) \)
2.2.2 阻尼项
- 直接模态阻尼：\( c_\alpha=2\zeta_{\alpha}\omega_{\alpha} \)
其中:\( \zeta_{\alpha} \)是\( mode \ \alpha \)下的临界阻尼分(模态阻尼比) - Structure Damp：提供了与模态振幅成比例的阻尼力。
\( c_{\alpha}\dot{q}_{\alpha}=i s_{\alpha}\omega_{\alpha}^2 q_{\alpha} \)
其中:\( s_{\alpha}是mode \ \alpha \)的结构阻尼系数(模态损耗因子) -
瑞利阻尼：定义为\( c_{\alpha}=\beta_{\alpha}+\gamma_{\alpha}\omega_{\alpha}^2 \)
其中，\( \beta_{\alpha}、\gamma_{\alpha} \)是瑞利阻尼系数，具体求法见Document.
瑞利阻尼系数可以用来再现：$$
\zeta_{\alpha}=\frac{\beta_{\alpha}}{2\omega_{\alpha}}+\frac{\gamma_{\alpha}\omega_{\alpha}}{2}
$$将阻尼项代入方程(1):
$$
\ddot{q}_{\alpha}+2\zeta_{\alpha}\omega_{\alpha}\dot{q}_{\alpha}+(\beta_{\alpha}+\gamma_{\alpha}\omega_{\alpha}^2)\dot{q}_{\alpha}+i s_{\alpha}\omega_{\alpha}^2 \dot{q}_{\alpha}+\omega_{\alpha}^2q_{\alpha}=\frac{1}{m_{\alpha}}(f_{1\alpha}+if_{2\alpha})exp(i\Omega t)
$$
方程的解为：
$$
\dot{q}_{\alpha}=H_{0\alpha}f_{0\alpha}exp[i(\Omega t+\Phi_{\alpha})]
$$
方程中有三个阻尼项对应于，ABAQUS/CAE中只定义一个，其他的就是0.
其中：
- \( f_{0\alpha}=\sqrt{f_{1\alpha}^2+f_{2\alpha}^2} \)是投影载荷矢量的振幅
- \( H_{0\alpha}(\Omega) \)是\( mode\ \alpha \)下系统复传递函数的振幅
$$
Re(H_{0\alpha}f_{0\alpha})=\frac{1}{m_{\alpha}} (\frac{f_{1\alpha}(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)}{(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)^2+(\eta_{\alpha}\Omega)^2}+\frac{f_{2\alpha}\eta_{\alpha}\Omega}{(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)^2+(\eta_{\alpha}\Omega)^2})
$$
$$
Im(H_{0\alpha}f_{0\alpha})=\frac{1}{m_{\alpha}}
(-\frac{f_{1\alpha}\eta_{\alpha}\Omega}{(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)^2+(\eta_{\alpha}\Omega)^2}+\frac{f_{2\alpha}(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)}{(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)^2+(\eta_{\alpha}\Omega)^2})
$$
其中：
$$
\eta_{\alpha}=2\zeta_{\alpha}\omega_{\alpha}+\beta_{\alpha}+\gamma_{\alpha}\omega_{\alpha}^2+\frac{s_{\alpha}\omega_{\alpha}^2}{\Omega}
$$
响应的幅值为：
$$
H_{0\alpha}f_{0\alpha}=\sqrt{Re(H_{\alpha})^2+Im(H_{\alpha})^2}=\frac{1}{m_{\alpha}}\frac{1}{\sqrt{(\omega_{\alpha}^2-\Omega^2)^2+(\eta_{\alpha}\Omega)^2}}f_{0\alpha}
$$
响应的相位：
$$
\Psi_{\alpha}=acrtan(Im(H_{\alpha})/Re(H_{\alpha}))
$$
如果谐波激励以base motion的形式施加，那么模态载荷如下：
$$
f_{1\alpha}=-\frac{1}{m\alpha} \phi_{\alpha}^{N}M^{NM}\hat{e}_j^{M}a_{1j}exp(i\Omega t)\\
f_{2\alpha}=-\frac{1}{m\alpha} \phi_{\alpha}^{N}M^{NM}\hat{e}_j^{M}a_{2j}exp(i\Omega t)
$$
其中，\( M^{NM} \)是结构的质量矩阵，\( \hat{e}_{j}^{M} \)是一个vector(在任何接地节点上的基础加速度，方向上具有单位幅值，否则为零)
\( a_{1j}、a_{2j} \)是base acceleration的实部和虚部。如果施加的是velocity(或者displacement) 则\( a_1=-\Omega v_1\ \ \ a_2=-\Omega v_2 \)或(\( a_1=-\Omega^2 u_1 \ \ \ a_2=-\Omega^2 u_2 \))。
综上所述，根据模态叠加的基本假设：位移写为特征模态的线性组合。
方程\( (1) \)的解\( q_{\alpha} \)为
$$
q_{\alpha}=H_{0\alpha}f_{0\alpha}exp[i(\Omega t+\Phi_{\alpha})]
$$
这是外加激励频率为\( \Omega \)，在\( mode\ \alpha \)下的解，经过模态叠加(如下)后可以得到位移响应\( (式2) \)：
$$
u^N=\sum_{\alpha}^{n}{\phi_{\alpha}^N q_{\alpha}}
$$
其中：
\( q_{\alpha} \):每个模态的幅值求解结果
\( \phi_{\alpha}^N:mode\ \alpha \)的特征向量向量\( （N \times1） \)即振型向量
稳态响应以通过用户指定频率范围的频率扫描形式给出。依次扫描频率点，就可以求出结构的频域响应。
参考资料
- COMSOL仿真百科
- ABAQUS Theory-稳态动力学分析
- MOOC-振动理论
- 《结构动力学 第二版》作者：R。克拉夫等
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