算法（2）---算法复杂度理论

算法复杂度：分为时间复杂度和空间复杂度，一个好的算法应该具体执行时间短，所需空间少的特点。

结论： 复杂度与时间效率的关系

C < log2ⁿ < n < n*log2ⁿ < n² < n³ < 2ⁿ < 3ⁿ < n! （c是一个常量,n是一个变量且比c大）

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    较好             一般          较差

下面举例说明。

一、概述

1、常量阶O(1)

O(1) 常量级复杂度，我们平时在分析时，只要代码不存在循环、递归语句，代码再多，也可以算是O(1)复杂度。

2、对数阶O(logn)

O(logn) 对数阶复杂度，比如下面这样的代码：

int i = 1;
while(i <= n){
    i = i*2;
}

它的执行次数是2^x=n中的x,如果n=8,那么x=3,代表只执行3次。如果n=9,同样也执行3次。

上面说过分析复杂度时常数可以去掉不算，推导下来还是会算回以2为底时一样的复杂度，因此，我们可以将对数的底忽略掉，统一用O(logn)表示。

二分查找 就是O(logn)的算法，每找一次排除一半的可能，256个数据中查找只要找8次就可以找到目标。

3、线性阶O(n)

O(n)：代表数据量增大几倍，耗时也增大几倍。比如常见的for循环遍历算法。

4、线性对数阶 n*log2ⁿ

n*log2n 线性对数阶,比如下面这样的代码

int num1,num2;
    for(int i=0; i<n; i++){
        num1 += 1;
        for(int j=1; j<=n; j*=2）{
            num2 += num1;
        }
    }

第一个for循环为O(n),第二个for循环为O(logn)，那么它们一相乘就是nlogn。

5、N次方台阶O(n^N)

O(n^N) N次方台阶在我们实际开发也会经常遇到，比如两个for循环：

int num1,num2;
    for(int i=0; i<n; i++){
        num1 += 1;
        for(int j=1; j<=n; j++）{
            num2 += num1;
        }
    }

那么它的复杂度就为O(n^{2)，常量都用变量来代替，也就是O(n}N)。

6、指数阶O(2^n)

O(2^n) 指数阶，在什么情况会用到呢，比较常用的有求子集。比如{a,b} 的子集有{空},{a},{b},{a,b} 共4个。如果求{a,b,c}那么子集有{空},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}共8个。

所以求子集复杂度为：O(2^n)。

7、阶乘阶O(n!)

这个意思懂，不过还没想到什么情况会是O(n!)。

总结

基本复杂度的理论分析这就学完了,主要是掌握一些基础的复杂度理论，这些理论都会贯穿整个算法学习的全部，所以要牢固掌握。

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只要自己变优秀了，其他的事情才会跟着好起来（少将12）
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